Может ли пенсионер иметь статус самозанятого?

Да, пенсионер может оформить самозанятость и получать дополнительный доход. При этом он не будет застрахован в системе обязательного пенсионного страхования.

Самозанятый пенсионер не потеряет право на ежегодную индексацию пенсии и льготы, которые получает как неработающий пенсионер. Например, компенсацию оплаты проезда и бесплатные лекарства. Если пенсионер получает социальную доплату — он также сохранит ее, несмотря на самозанятость и доход.

На что может повлиять самозанятость
Если пенсионер получает дополнительный доход, он учитывается при назначении некоторых компенсаций — например, при оплате коммунальных услуг. Вместе с пенсией доход будет выше и размер субсидии уменьшится. 

Если самозанятый пенсионер решит добровольно уплачивать взносы на пенсионное страхование, он будет считаться работающим и потеряет право на индексацию и льготы. 

Если у пенсионера статус ИП
Важен не статус ИП, а система налогообложения и уплата взносов на пенсионное страхование. ИП на патенте или упрощенке платят взносы и считаются работающими. 
Самозанятые ИП взносы не платят. Также они могут работать без этого статуса как физлицо.